求证：f(x)=2^x-4^x 在[0，1]单调递减？

令y=f(x)=-2^2x+2^x=-(2^x-1)^2+1
当0<=x<=1时,t=2^x是单调增函数,1<=t<=2
y=-(t-1)^2+1在1<=t<=2时是单调减函数
因此f(x)=2^x-4^x 在[0，1]单调递减

还可以用导数来证明

设2^x=a
即f(x)=a-a^2
也即f(x)=-(a-1)^2-a+1
因为a在[0，1]递增
所以-(a-1)^2在[0，1]递减
所以f(x)=2^x-4^x 在[0，1]单调递减